Ujian Akhir Semester (UAS) atau Penilaian Akhir Tahun (PAT) merupakan momen krusial bagi siswa untuk mengevaluasi sejauh mana pemahaman mereka terhadap materi yang telah dipelajari selama satu semester. Matematika Wajib Kelas 11 Semester 2 sendiri mencakup beberapa topik penting yang membutuhkan pemahaman mendalam dan kemampuan aplikasi yang baik. Untuk membantu Anda mempersiapkan diri secara optimal, artikel ini akan menyajikan berbagai contoh soal PAT Matematika Wajib Kelas 11 Semester 2, lengkap dengan pembahasan dan tips mengerjakan.
Memahami Cakupan Materi PAT Matematika Wajib Kelas 11 Semester 2
Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita review kembali cakupan materi yang umumnya diujikan pada PAT Matematika Wajib Kelas 11 Semester 2. Materi ini bisa sedikit bervariasi antar kurikulum, namun beberapa topik utama yang seringkali muncul adalah:
- Trigonometri (Lanjutan): Meliputi identitas trigonometri, persamaan trigonometri, aturan sinus, aturan kosinus, luas segitiga dengan trigonometri, serta fungsi trigonometri dalam konteks aplikasi.
- Geometri Ruang: Membahas tentang kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, jarak antara titik, garis, dan bidang, serta sudut antara titik, garis, dan bidang.
- Statistika (Lanjutan): Mencakup ukuran pemusatan data (mean, median, modus) untuk data berkelompok, ukuran penyebaran data (ragam, simpangan baku, kuartil, jangkauan antarkuartil), serta pengantar tentang peluang.
- Peluang (Lanjutan): Perluasan materi peluang, meliputi peluang kejadian majemuk (saling lepas, tidak saling lepas, saling bebas, tidak saling bebas), serta aturan pencacahan (permutasi dan kombinasi) dalam konteks masalah peluang.
Strategi Belajar Efektif untuk PAT
Mempersiapkan PAT tidak hanya tentang mengerjakan banyak soal, tetapi juga tentang memahami konsep dasar dan strategi penyelesaian. Berikut beberapa tips yang dapat membantu Anda:
- Pahami Konsep Dasar: Pastikan Anda benar-benar mengerti setiap definisi, teorema, dan rumus yang berkaitan dengan materi. Jangan hanya menghafal, tapi cobalah pahami "mengapa" di balik setiap konsep.
- Buat Catatan Rangkuman: Rangkum materi penting, rumus-rumus kunci, dan contoh soal yang sering muncul. Gunakan warna atau diagram untuk mempermudah mengingat.
- Latihan Soal Bervariasi: Kerjakan soal dari berbagai sumber, mulai dari buku paket, LKS, hingga contoh soal PAT tahun sebelumnya. Perhatikan variasi tingkat kesulitan soal.
- Fokus pada Kesalahan: Saat mengerjakan latihan, catat soal-soal yang salah Anda kerjakan. Cari tahu di mana letak kesalahan Anda (kesalahan konsep, perhitungan, atau pemahaman soal) dan perbaiki.
- Simulasi Ujian: Cobalah mengerjakan soal PAT dalam batas waktu tertentu untuk membiasakan diri dengan tekanan waktu saat ujian sebenarnya.
- Diskusi dengan Teman atau Guru: Jangan ragu bertanya kepada guru atau teman jika ada materi atau soal yang sulit dipahami. Diskusi bisa membuka perspektif baru.
Contoh Soal PAT Matematika Wajib Kelas 11 Semester 2
Mari kita mulai dengan contoh-contoh soal yang mencakup berbagai topik yang telah disebutkan.
Bagian 1: Trigonometri
Soal 1:
Jika $sin x = frac35$ dan $x$ berada di kuadran II, tentukan nilai dari $cos x$ dan $tan x$.
Pembahasan:
Diketahui $sin x = frac35$. Dalam segitiga siku-siku, $sin x = fractextsisi depantextsisi miring$. Misalkan sisi depan adalah 3 dan sisi miring adalah 5.
Kita dapat mencari sisi samping menggunakan teorema Pythagoras:
$(textsisi samping)^2 + (textsisi depan)^2 = (textsisi miring)^2$
$(textsisi samping)^2 + 3^2 = 5^2$
$(textsisi samping)^2 + 9 = 25$
$(textsisi samping)^2 = 25 – 9 = 16$
$textsisi samping = sqrt16 = 4$
Karena $x$ berada di kuadran II, nilai $sin x$ positif (sesuai dengan soal), namun nilai $cos x$ dan $tan x$ negatif.
Maka, $cos x = fractextsisi sampingtextsisi miring = frac45$. Karena di kuadran II, $cos x = -frac45$.
$tan x = fractextsisi depantextsisi samping = frac34$. Karena di kuadran II, $tan x = -frac34$.
Jawaban: $cos x = -frac45$ dan $tan x = -frac34$.
Soal 2:
Sederhanakan bentuk $fracsin 2×1 + cos 2x$.
Pembahasan:
Kita akan menggunakan identitas trigonometri:
$sin 2x = 2 sin x cos x$
$cos 2x = 2 cos^2 x – 1$ (atau identitas lainnya, namun ini yang paling cocok)
Substitusikan identitas-identitas tersebut ke dalam soal:
$fracsin 2×1 + cos 2x = frac2 sin x cos x1 + (2 cos^2 x – 1)$
$= frac2 sin x cos x1 + 2 cos^2 x – 1$
$= frac2 sin x cos x2 cos^2 x$
Sekarang, sederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $2 cos x$ (dengan asumsi $cos x neq 0$):
$= fracsin xcos x$
$= tan x$
Jawaban: $tan x$.
Soal 3:
Dalam segitiga ABC, diketahui panjang sisi $a = 6$ cm, sisi $b = 8$ cm, dan besar sudut $C = 60^circ$. Hitunglah panjang sisi $c$.
Pembahasan:
Soal ini dapat diselesaikan menggunakan Aturan Kosinus. Aturan Kosinus menyatakan:
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos C$
Diketahui: $a = 6$, $b = 8$, $C = 60^circ$.
$cos 60^circ = frac12$.
Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
$c^2 = 6^2 + 8^2 – 2(6)(8) cos 60^circ$
$c^2 = 36 + 64 – 2(48) left(frac12right)$
$c^2 = 100 – 96 left(frac12right)$
$c^2 = 100 – 48$
$c^2 = 52$
$c = sqrt52 = sqrt4 times 13 = 2sqrt13$
Jawaban: Panjang sisi $c = 2sqrt13$ cm.
Bagian 2: Geometri Ruang
Soal 4:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak dari titik A ke garis CG.
Pembahasan:
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk-rusuk yang saling tegak lurus.
Titik A berada pada bidang alas ABCD. Garis CG adalah garis tegak lurus terhadap bidang alas ABCD.
Jarak dari titik A ke garis CG adalah panjang ruas garis yang ditarik dari A dan tegak lurus terhadap CG.
Perhatikan bahwa CG sejajar dengan BF, AE, dan DH.
Jarak dari titik A ke garis CG sama dengan jarak dari titik A ke garis manapun yang sejajar dengan CG dan melalui titik A, atau jarak dari titik A ke proyeksi titik A pada garis CG.
Karena CG tegak lurus terhadap bidang ABCD, maka jarak terpendek dari titik A ke garis CG adalah panjang proyeksi A pada garis yang tegak lurus dengan CG.
Dalam kasus ini, jarak dari titik A ke garis CG adalah sama dengan panjang rusuk AE, karena AE tegak lurus terhadap CG dan AE berada pada bidang yang sama dengan A dan tegak lurus CG. Atau, bisa juga dilihat sebagai jarak titik A ke titik C, lalu diproyeksikan, tapi lebih sederhana melihatnya sebagai jarak vertikal.
Jarak dari A ke garis CG adalah sama dengan jarak dari A ke garis DH (jika kita menganggap DH sejajar CG).
Lebih mudahnya, kita dapat memproyeksikan titik A ke garis CG. Garis CG tegak lurus terhadap bidang ABCD. Maka, jarak dari A ke CG adalah jarak vertikal dari A ke bidang alas, yang sejajar dengan CG.
Misalkan kita perpanjang garis CG ke atas menjadi garis tak terhingga. Jarak dari titik A ke garis CG adalah sama dengan jarak dari titik A ke proyeksinya pada garis CG. Karena CG tegak lurus bidang ABCD, maka proyeksi A pada CG adalah titik G. Jarak AG adalah diagonal bidang alas.
Namun, pertanyaannya adalah jarak ke garis CG.
Garis CG tegak lurus dengan semua garis di bidang ABCD yang sejajar dengan arah CG.
Perhatikan bahwa garis CG tegak lurus dengan bidang alas ABCD.
Jarak dari titik A ke garis CG adalah jarak terpendek dari A ke sembarang titik pada garis CG.
Jika kita tarik garis dari A yang tegak lurus dengan CG, garis tersebut akan sejajar dengan AD, AB, atau rusuk-rusuk alas.
Misalnya, perhatikan ruas garis AE. AE tegak lurus terhadap rusuk AB dan AD.
Karena CG tegak lurus dengan bidang ABCD, maka CG tegak lurus dengan setiap garis di bidang ABCD.
Jadi, CG tegak lurus AB dan CG tegak lurus AD.
Jarak dari A ke garis CG adalah panjang ruas garis yang ditarik dari A tegak lurus CG. Ruas garis AE memenuhi syarat ini.
AE adalah rusuk kubus.
Jawaban: Jarak dari titik A ke garis CG adalah panjang rusuk kubus, yaitu 6 cm.
Soal 5:
Diketahui sebuah limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas AB = 8 cm dan tinggi limas TO = 12 cm (O adalah titik pusat alas). Tentukan jarak dari titik T ke garis BC.
Pembahasan:
Limas segiempat beraturan T.ABCD berarti alasnya adalah persegi ABCD, dan titik puncak T berada tepat di atas pusat alas O. TO adalah tinggi limas.
Kita perlu mencari jarak dari T ke garis BC.
Misalkan M adalah titik tengah BC. Maka TM adalah garis tinggi pada segitiga TBC. Karena T.ABCD adalah limas beraturan, segitiga TBC adalah segitiga sama kaki dengan TB = TC. Maka TM tegak lurus BC.
Jarak dari T ke garis BC adalah panjang TM.
Pertama, kita cari panjang OM. Karena O adalah pusat persegi ABCD dan M adalah titik tengah BC, maka OM tegak lurus BC dan OM sejajar dengan AB. Panjang OM adalah setengah dari panjang AB.
$OM = frac12 AB = frac12 times 8 text cm = 4 text cm$.
Sekarang perhatikan segitiga siku-siku TOM (siku-siku di O).
Kita punya TO = 12 cm dan OM = 4 cm.
Menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari TM:
$TM^2 = TO^2 + OM^2$
$TM^2 = 12^2 + 4^2$
$TM^2 = 144 + 16$
$TM^2 = 160$
$TM = sqrt160 = sqrt16 times 10 = 4sqrt10$ cm.
Jawaban: Jarak dari titik T ke garis BC adalah $4sqrt10$ cm.
Bagian 3: Statistika
Soal 6:
Diberikan data nilai ujian Matematika kelas XI IPA 2 dalam tabel berikut:
| Nilai Ujian | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 50 – 59 | 4 |
| 60 – 69 | 7 |
| 70 – 79 | 10 |
| 80 – 89 | 6 |
| 90 – 99 | 3 |
Hitunglah rata-rata (mean) dari data tersebut.
Pembahasan:
Untuk menghitung rata-rata dari data berkelompok, kita gunakan rumus:
$barx = fracsum (f cdot x_i)sum f$
dimana $x_i$ adalah nilai tengah dari setiap kelas.
Langkah 1: Tentukan nilai tengah ($x_i$) setiap kelas.
Nilai tengah = $fractextbatas bawah + textbatas atas2$
| Nilai Ujian | Frekuensi (f) | Nilai Tengah ($x_i$) | $f cdot x_i$ |
|---|---|---|---|
| 50 – 59 | 4 | $frac50+592 = 54.5$ | $4 times 54.5 = 218$ |
| 60 – 69 | 7 | $frac60+692 = 64.5$ | $7 times 64.5 = 451.5$ |
| 70 – 79 | 10 | $frac70+792 = 74.5$ | $10 times 74.5 = 745$ |
| 80 – 89 | 6 | $frac80+892 = 84.5$ | $6 times 84.5 = 507$ |
| 90 – 99 | 3 | $frac90+992 = 94.5$ | $3 times 94.5 = 283.5$ |
| Jumlah | $sum f = 30$ | $sum (f cdot x_i) = 2205$ |
Langkah 2: Hitung rata-rata.
$barx = frac220530 = 73.5$
Jawaban: Rata-rata nilai ujian adalah 73.5.
Soal 7:
Diberikan data tinggi badan 40 siswa sebagai berikut:
| Tinggi Badan (cm) | Frekuensi (f) |
|---|---|
| 150 – 154 | 5 |
| 155 – 159 | 8 |
| 160 – 164 | 12 |
| 165 – 169 | 10 |
| 170 – 174 | 5 |
Tentukan median dari data tersebut.
Pembahasan:
Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Untuk data berkelompok, kita menggunakan rumus:
$Me = TB + left(fracfrac12n – Ffright)p$
dimana:
- $Me$ = Median
- $TB$ = Tepi bawah kelas median
- $n$ = Jumlah seluruh data
- $F$ = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
- $f$ = Frekuensi kelas median
- $p$ = Panjang interval kelas
Langkah 1: Tentukan letak kelas median.
Jumlah data, $n = 40$.
Posisi median = $frac12n = frac12(40) = 20$.
Kita perlu mencari kelas ke-20 dari data yang diurutkan. Mari kita hitung frekuensi kumulatifnya:
| Tinggi Badan (cm) | Frekuensi (f) | Frekuensi Kumulatif (Fk) |
|---|---|---|
| 150 – 154 | 5 | 5 |
| 155 – 159 | 8 | 5 + 8 = 13 |
| 160 – 164 | 12 | 13 + 12 = 25 |
| 165 – 169 | 10 | 25 + 10 = 35 |
| 170 – 174 | 5 | 35 + 5 = 40 |
Data ke-20 berada pada kelas interval 160 – 164 karena frekuensi kumulatifnya adalah 25, yang mana nilai ke-20 termasuk di dalamnya.
Langkah 2: Identifikasi nilai-nilai untuk rumus median.
- Kelas median: 160 – 164
- $TB$ (Tepi bawah kelas median) = 160 – 0.5 = 159.5
- $n = 40$
- $F$ (Frekuensi kumulatif sebelum kelas median) = 13 (frekuensi kumulatif dari kelas 150-154 dan 155-159)
- $f$ (Frekuensi kelas median) = 12
- $p$ (Panjang interval kelas) = 154 – 150 + 1 = 5 (atau 159.5 – 154.5 = 5)
Langkah 3: Hitung median.
$Me = 159.5 + left(frac20 – 1312right)5$
$Me = 159.5 + left(frac712right)5$
$Me = 159.5 + frac3512$
$Me = 159.5 + 2.9167$ (dibulatkan)
$Me approx 162.4167$
Jawaban: Median tinggi badan siswa adalah sekitar 162.42 cm.
Bagian 4: Peluang
Soal 8:
Dalam sebuah kantong terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil 2 bola sekaligus secara acak, berapa peluang terambilnya bola merah dan bola biru?
Pembahasan:
Ini adalah masalah kombinasi karena urutan pengambilan bola tidak diperhatikan.
Jumlah total bola = 5 merah + 3 biru = 8 bola.
Langkah 1: Hitung total ruang sampel (kemungkinan pengambilan 2 bola dari 8 bola).
$n(S) = C(8, 2) = frac8!(8-2)!2! = frac8!6!2! = frac8 times 72 times 1 = 28$.
Langkah 2: Hitung kejadian yang diinginkan (terambilnya 1 bola merah dan 1 bola biru).
Untuk terambilnya 1 bola merah dari 5 bola merah: $C(5, 1) = frac5!(5-1)!1! = frac5!4!1! = 5$.
Untuk terambilnya 1 bola biru dari 3 bola biru: $C(3, 1) = frac3!(3-1)!1! = frac3!2!1! = 3$.
Jumlah cara terambilnya 1 bola merah DAN 1 bola biru adalah hasil perkalian dari kedua kejadian tersebut:
$n(A) = C(5, 1) times C(3, 1) = 5 times 3 = 15$.
Langkah 3: Hitung peluangnya.
$P(A) = fracn(A)n(S) = frac1528$.
Jawaban: Peluang terambilnya bola merah dan bola biru adalah $frac1528$.
Soal 9:
Dua buah dadu dilempar bersamaan. Berapa peluang munculnya jumlah mata dadu habis dibagi 3?
Pembahasan:
Setiap dadu memiliki 6 mata dadu (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Total ruang sampel saat melempar dua dadu adalah $6 times 6 = 36$.
Kita perlu mencari pasangan mata dadu yang jumlahnya habis dibagi 3. Jumlah mata dadu yang mungkin adalah dari $1+1=2$ sampai $6+6=12$.
Angka yang habis dibagi 3 dalam rentang 2 sampai 12 adalah: 3, 6, 9, 12.
Mari kita daftar pasangan mata dadu yang menghasilkan jumlah tersebut:
- Jumlah = 3: (1, 2), (2, 1) – ada 2 pasangan
- Jumlah = 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) – ada 5 pasangan
- Jumlah = 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) – ada 4 pasangan
- Jumlah = 12: (6, 6) – ada 1 pasangan
Total kejadian munculnya jumlah mata dadu habis dibagi 3 adalah $2 + 5 + 4 + 1 = 12$.
Peluangnya adalah:
$P(textjumlah habis dibagi 3) = fractextJumlah kejadiantextTotal ruang sampel = frac1236 = frac13$.
Jawaban: Peluang munculnya jumlah mata dadu habis dibagi 3 adalah $frac13$.
Penutup
Demikianlah beberapa contoh soal PAT Matematika Wajib Kelas 11 Semester 2 beserta pembahasannya. Ingatlah bahwa pemahaman konsep adalah kunci utama. Latihan secara rutin dengan berbagai variasi soal akan membekali Anda dengan kepercayaan diri dan kemampuan untuk menghadapi ujian akhir semester dengan baik. Jangan lupa untuk selalu memeriksa kembali jawaban Anda dan pahami setiap langkah penyelesaiannya. Selamat belajar dan semoga sukses dalam PAT Anda!
